2023 年考研数学（二） 第 15 题

函数满足平移关系 $f(x+2)-f(x)=x$，这提示用「区间平移换元」在不同区间的积分之间建桥。关键一步是 ${\int }_2^{3}f(x)dx\stackrel{x=u+2}{\to }{\int }_0^{1}f(u+2)du={\int }_0^1[f(u)+u]du$，把远处的积分拉回到 $[0,1]$。这样所求 ${\int }_1^3$ 里冒出的未知量 ${\int }_0^{1}f$ 恰好能被条件 ${\int }_0^{2}f=0$ 抵消，无需知道 $f$ 的具体形式。

本题考查定积分的性质与换元法。 利用平移换元把 ${\int }_2^{3}f$ 与 ${\int }_0^{1}f$ 联系起来，再借条件 ${\int }_0^{2}f=0$ 拼出所求。

对 ${\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x$ 作代换 $x=u+2$，得 ${\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}f(u+2)\mathrm{d}u$。由 $f(x+2)=f(x)+x$：
$${\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^1[f(x)+x]\mathrm{d}x={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x+\frac{1}{2}.(1)$$

又由 ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$，得 ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$。

于是所求
$${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x={\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x+\left[{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\right]=\frac{1}{2}.$$