2023 年考研数学（二） 第 14 题

「法线斜率」题分三步：定点、求切线斜率、取负倒数。定点要小心——$x=1$ 时的 $y$ 由一个高次方程给出，靠「单调函数唯一零点」确定 $y=1$ 而非硬解。切线斜率用隐函数求导 $9x^2=(5y^4+6y^2)y^{\prime }$ 代值得 $\frac{9}{11}$。最后法线斜率是切线的负倒数 $-\frac{11}{9}$，别把切线当答案。

本题考查导数的几何意义与隐函数求导。 先由隐函数求导得切线斜率，再由「切线斜率 $\times$ 法线斜率 $=-1$」得法线斜率。

先定对应点。$x=1$ 时 $3=y^5+2y^3$。记 $\psi (y)=y^5+2y^3-3$，${\psi }^{\prime }(y)=5y^4+6y^2⩾0$ 单调增，$\psi (1)=0$，故 $y=1$ 唯一，对应点为 $(1,1)$。

对 $3x^3=y^5+2y^3$ 两端关于 $x$ 求导：
$$9x^2=(5y^4+6y^2)y^{\prime }.$$
代入 $x=1,y=1$：$9=11y^{\prime }$，得切线斜率 $y^{\prime }(1)=\frac{9}{11}$。

法线与切线垂直，斜率乘积为 $-1$，故法线斜率 $=-\frac{1}{9/11}=-\frac{11}{9}$。