2023 年考研数学（二） 第 13 题

隐函数求高阶偏导，流程是「求一次导、代一次值、再求一次导、再代值」，切忌先解出 $z$ 的显式表达。先花一步把定点的 $z$ 值定死（$z(1,1)=0$），后面每求一阶导就立即代入已知的值，能大幅减小表达式。二阶求导时唯一易错点是 ${\mathrm{e}}^z$ 对 $x$ 再求导会甩出一个 ${\mathrm{e}}^z{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2$ 项，别漏。

本题考查由方程确定的隐函数（多元）的二阶偏导数。 对确定式两端反复关于 $x$ 求偏导，并逐次代入具体点的值。

先定 $z(1,1)$：把 $x=1,y=1$ 代入得 ${\mathrm{e}}^z+z=1$。考虑 $\phi (z)={\mathrm{e}}^z+z-1$，${\phi }^{\prime }(z)={\mathrm{e}}^z+1>0$ 单调增，$\phi (0)=0$，故 $z(1,1)=0$。

对 ${\mathrm{e}}^z+xz=2x-y$ 两端关于 $x$ 求偏导：
$${\mathrm{e}}^z\frac{\partial z}{\partial x}+z+x\frac{\partial z}{\partial x}=2.(1)$$
代入 $x=1,y=1,z=0$：$\frac{\partial z}{\partial x}+0+\frac{\partial z}{\partial x}=2$，得 $\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(1,1)}=1$。

对 (1) 式两端再关于 $x$ 求偏导：
$${\mathrm{e}}^z{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\mathrm{e}}^z\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial x}+x\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=0,$$
即 ${\mathrm{e}}^z{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+2\frac{\partial z}{\partial x}+({\mathrm{e}}^z+x)\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=0$。

代入 $x=1,z=0,\frac{\partial z}{\partial x}=1$：$1+2+2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=0$，故 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}{|}_{(1,1)}=-\frac{3}{2}$。