2023 年考研数学（二） 第 12 题

看到「变限积分给出的曲线求弧长」，先用微积分基本定理秒得 $y^{\prime }=\sqrt{3-x^2}$（这也顺带框定积分区间 $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$）。妙处在于 $1+(y^{\prime }{)}^2$ 恰好化成 $4-x^2$ 这个标准形，弧长积分就是半径 $2$ 圆的弧下面积，$x=2\sin t$ 一代即得。别忘了上限 $\sqrt{3}$ 对应 $t=\frac{\pi }{3}$，以及利用偶函数把区间对折。

本题考查曲线弧长的计算。 弧长公式 $s={\int }_a^b\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}\mathrm{d}x$，其中 $y^{\prime }$ 由变限积分求导得到。

被积函数 $\sqrt{3-t^2}$ 要求 $|t|⩽\sqrt{3}$，故定义域为 $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$。由变限积分求导公式 $y^{\prime }=\sqrt{3-x^2}$。

于是
$$s={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{1+(3-x^2)}\mathrm{d}x={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{4-x^2}\mathrm{d}x\stackrel{\text{偶函数}}{=}2{\int }_0^{\sqrt{3}}\sqrt{4-x^2}\mathrm{d}x.$$

令 $x=2\sin t$，$\mathrm{d}x=2\cos t\mathrm{d}t$，上限 $x=\sqrt{3}$ 对应 $t=\frac{\pi }{3}$：
$$s=2{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}2\cos t\cdot 2\cos t\mathrm{d}t=8{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}{\cos }^{2}t\mathrm{d}t=4{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}(1+\cos 2t)\mathrm{d}t=4{\left[t+\frac{\sin 2t}{2}\right]}_0^{\frac{\pi }{3}}=\frac{4\pi }{3}+\sqrt{3}.$$