2023 年考研数学（二） 第 11 题

两个无穷小等价，就是它们「最低阶项完全一样」。先把 $g(x)$ 展开定出它是几阶：${\mathrm{e}}^{x^2}-\cos x=\frac{3}{2}{x}^2+\cdots$ 是二阶。既然分母从 $x^2$ 起步，$f(x)$ 就不能有 $x$ 一阶项（否则比值发散），这逼出 $a+1=0$；再让 $f$ 的 $x^2$ 系数与 $g$ 的 $\frac{3}{2}$ 对齐得 $b=2$。凡是「含参函数与某无穷小等价」定参数，一律展开对齐同阶系数。

本题考查等价无穷小的概念。 $f(x)$ 与 $g(x)$ 等价即 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1$，可用泰勒展开（麦克劳林）逐项比较。

在 $x=0$ 处展开到二阶：
$$f(x)=ax+b{x}^2+\left(x-\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2)\right)=(a+1)x+\left(b-\frac{1}{2}\right)x^2+o(x^2),$$
$$g(x)=\left(1+x^2+o(x^2)\right)-\left(1-\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2)\right)=\frac{3}{2}{x}^2+o(x^2).$$

由等价无穷小 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1$。分母是二阶无穷小 $\frac{3}{2}{x}^2$，要使比值极限为有限的 $1$，分子中的一阶项必须消失，且二阶系数须与分母相等：
$$a+1=0,b-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$$

解得 $a=-1,b=2$，故 $ab=-2$。