2023 年考研数学（二） 第 10 题

「既能由 $\mathbf{\alpha }$ 组、又能由 $\mathbf{\beta }$ 组表示」就是求两个子空间的交空间。标准套路：令两种表示相等、移项，凑成一个齐次线性方程组 $({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_2)\mathbf{x}=0$，它的基础解系给出所有可行组合，再代回任一组算出 $\mathbf{\gamma }$。考场上也可反过来偷懒：直接检验每个选项方向能否同时写成两组的线性组合，$(1,5,8{)}^{\mathrm{T}}=3{\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2={\mathbf{\beta }}_1-{\mathbf{\beta }}_2$ 一次命中。

本题考查向量的线性表示。 $\mathbf{\gamma }$ 同时属于 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 张成的空间与 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2$ 张成的空间，即求两子空间的交。

设 $\mathbf{\gamma }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2=l_1{\mathbf{\beta }}_1+l_2{\mathbf{\beta }}_2$，则 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2-l_1{\mathbf{\beta }}_1-l_2{\mathbf{\beta }}_2=0$，即 $(k_1,-l_1,k_2,-l_2{)}^{\mathrm{T}}$ 是齐次方程组 $({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_2)\mathbf{x}=0$ 的解。

对 $A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_2)=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 1\\ 2& 5& 1& 0\\ 3& 9& 1& 1\end{array}\right)$ 作初等行变换化为 $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -3\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)$，取自由未知量对应分量为 $1$，得基础解系 $\mathbf{\xi }=(3,-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$，即 $(k_1,-l_1,k_2,-l_2{)}^{\mathrm{T}}=k(3,-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$。

于是 $k_1=3k,k_2=-k$，$\mathbf{\gamma }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2=3k\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)-k\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\end{array}\right)$，应选 D。

验证：$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\end{array}\right)=3{\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2={\mathbf{\beta }}_1-{\mathbf{\beta }}_2$，确实同时可由两组表示。