2023 年考研数学（二） 第 9 题

求规范形本质是求 $(p,q)$，不必真的正交化。这里有个巧劲：先算二次型矩阵行列式，发现 $|A|=0$（第 2、3 行相同），立刻得秩 $⩽2$，把 $p+q$ 卡在 $⩽2$。再用「代点探号」——找一个使 $f>0$ 的点证明有正惯性、找一个使 $f<0$ 的点证明有负惯性，于是 $p,q$ 都至少为 $1$，在总数 $⩽2$ 的约束下只能各为 $1$，规范形 $y_1^2-y_2^2$。这套「行列式定秩 + 代点定号」比硬算特征值快得多。

本题考查二次型的规范形。 规范形由正、负惯性指数 $(p,q)$ 决定，规范形为 $y_1^2+\cdots +y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots -y_{p+q}^2$。

展开得 $f=2x_1^2-3x_2^2-3x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+8x_2{x}_3$，对应矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& -3& 4\\ 1& 4& -3\end{array}\right)$。计算行列式：第 3 行加到第 2 行，得两行相同，$|A|=0$，故 $A$ 有零特征值，$r(A)⩽2$，从而 $p+q⩽2$。

再判正负惯性指数是否都非零：$f(1,0,0)=1+1-0=2>0$，说明 $p⩾1$；$f(0,0,1)=0+1-4=-3<0$，说明 $q⩾1$。结合 $p+q⩽2$ 与 $p⩾1,q⩾1$，只能 $p=q=1$。

故规范形为 $y_1^2-y_2^2$，应选 B。