2023 年考研数学（二） 第 8 题

求分块矩阵的伴随，别硬套代数余子式，用桥梁公式 $M^{\ast }=|M|M^{-1}$ 把问题转成「求逆」。分块上三角的逆用待定块 $\left(\begin{array}{cc}{X}_1& X_2\\ X_3& X_4\end{array}\right)$ 乘出来解四个块方程即可。最后把 $|M|=|A||B|$ 分配进去时，关键是识别 $|A|A^{-1}=A^{\ast }$，并盯住右上角乘积顺序——$-|A||B|A^{-1}{B}^{-1}=-(|A|A^{-1})(|B|B^{-1})=-A^{\ast }{B}^{\ast }$，正是这个顺序把 C、D 区分开。

本题考查分块矩阵的伴随矩阵。 对可逆方阵 $M$ 有 $M^{\ast }=|M|M^{-1}$。记 $M=\left(\begin{array}{cc}A& E\\ O& B\end{array}\right)$，它是分块上三角，$|M|=|A||B|\ne 0$，故只需求 $M^{-1}$。

求逆：设 $M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{X}_1& X_2\\ X_3& X_4\end{array}\right)$，由 $M{M}^{-1}=E$ 得 $\{\begin{array}{l}A{X}_1+X_3=E\\ A{X}_2+X_4=O\\ B{X}_3=O\\ B{X}_4=E\end{array}$。因 $A,B$ 可逆，解得 $X_1=A^{-1},X_3=O,X_4=B^{-1},X_2=-A^{-1}{B}^{-1}$，即
$$M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right).$$

于是
$$M^{\ast }=|M|M^{-1}=|A||B|\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right).$$
利用 $|A|A^{-1}=A^{\ast }$、$|B|B^{-1}=B^{\ast }$：左上 $|A||B|A^{-1}=|B|A^{\ast }$，右下 $|A||B|B^{-1}=|A|B^{\ast }$，右上 $-|A||B|A^{-1}{B}^{-1}=-(|A|A^{-1})(|B|B^{-1})=-A^{\ast }{B}^{\ast }$。

故 $M^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}|B|A^{\ast }& -A^{\ast }{B}^{\ast }\\ O& |A|B^{\ast }\end{array}\right)$，应选 D。