2023 年考研数学（二） 第 7 题

含指数因子 ${\mathrm{e}}^x$ 的函数，求导后 ${\mathrm{e}}^x$ 恒正，一切符号信息都压在括号里的多项式上，于是「极值/拐点存不存在」就化成两个二次式判别式的问题。要点是把两句话精确翻译成判别式不等式：没有极值点对应 $f^{\prime }$ 那个二次式无变号根（$\Delta ⩽0$，取等也行，因为重根处不变号）；有拐点对应 $f^{\prime \prime }$ 那个二次式有两个不同根（$\Delta >0$）。一个给上界一个给下界，交出 $[1,2)$。

本题考查极值点与拐点的判定。 $f$ 二阶可导：没有极值点 $\iff f^{\prime }(x)$ 不变号；有拐点 $\iff f^{\prime \prime }(x)$ 变号（即 $f^{\prime \prime }=0$ 有变号根）。

计算导数：
$$f^{\prime }(x)=(x^2+a){\mathrm{e}}^x+2x{\mathrm{e}}^x=(x^2+2x+a){\mathrm{e}}^x,$$
$$f^{\prime \prime }(x)=(x^2+2x+a){\mathrm{e}}^x+(2x+2){\mathrm{e}}^x=(x^2+4x+a+2){\mathrm{e}}^x.$$
因 ${\mathrm{e}}^x>0$，$f^{\prime }$、$f^{\prime \prime }$ 的符号分别由二次式 $x^2+2x+a$ 与 $x^2+4x+a+2$ 决定。

没有极值点：$x^2+2x+a$ 不变号，即无两个不同实根，判别式 ${\Delta }_1=4-4a⩽0$，得 $a⩾1$。

有拐点：$x^2+4x+a+2=0$ 有两个不同实根（才能变号），判别式 ${\Delta }_2=16-4(a+2)>0$，得 $a<2$。

两者取交集：$a\in [1,2)$，应选 C。