2023 年考研数学（二） 第 6 题

「积分是参数 $\alpha$ 的函数，求它的最值」——第一步永远是把积分先算出来变成显式的 $f(\alpha )$，顺带确定收敛范围（这里 $\alpha >0$）。得到 $f(\alpha )=\frac{(\ln 2{)}^{-\alpha }}{\alpha }$ 后就是普通的一元最值问题。求导的小技巧是把底数为常数的幂 $(\ln 2{)}^{-\alpha }$ 改写成 ${\mathrm{e}}^{-\alpha \ln (\ln 2)}$，这样导数干净；又因 $\ln 2<1$ 使 $\ln (\ln 2)<0$，驻点 $-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$ 恰为正，符合定义域。

本题考查反常积分的计算与一元函数最值。 先把反常积分算成 $\alpha$ 的显式函数，确定定义域，再求导找最小值点。

令 $u=\ln x$，$\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x}$，则 $f(\alpha )={\int }_2^{+\infty }(\ln x{)}^{-\alpha -1}\mathrm{d}(\ln x)$。当 $\alpha ⩽0$ 时积分发散（$\alpha =0$ 时为 $\ln (\ln x){|}_2^{+\infty }=+\infty$；$\alpha <0$ 时 $(\ln x{)}^{-\alpha }\to +\infty$），故须 $\alpha >0$。此时
$$f(\alpha )=-\frac{1}{\alpha }(\ln x{)}^{-\alpha }{|}_2^{+\infty }=-\frac{1}{\alpha }\left[0-(\ln 2{)}^{-\alpha }\right]=\frac{(\ln 2{)}^{-\alpha }}{\alpha },\alpha >0.$$

求导（注意 $(\ln 2{)}^{-\alpha }={\mathrm{e}}^{-\alpha \ln (\ln 2)}$，导数为 $-\ln (\ln 2)(\ln 2{)}^{-\alpha }$）：
$$f^{\prime }(\alpha )=\frac{-\alpha \ln (\ln 2)(\ln 2{)}^{-\alpha }-(\ln 2{)}^{-\alpha }}{{\alpha }^2}=\frac{-(\ln 2{)}^{-\alpha }\left[\alpha \ln (\ln 2)+1\right]}{{\alpha }^2}.$$
因 $\ln 2\in (0,1)$，$\ln (\ln 2)<0$。令 $f^{\prime }(\alpha )=0$ 得 $\alpha =-\frac{1}{\ln (\ln 2)}>0$。

当 $0<\alpha <-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$ 时 $f^{\prime }(\alpha )<0$、$f$ 递减；当 $\alpha >-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$ 时 $f^{\prime }(\alpha )>0$、$f$ 递增。故 ${\alpha }_0=-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$ 为最小值点，应选 A。