2023 年考研数学（二） 第 5 题

参数方程里出现 $|t|$，别急着套 $\frac{dy/dt}{dx/dt}$，因为 $|t|$ 在 $t=0$ 两侧表达式不同。稳妥做法是先把 $x=2t+|t|$ 反解成分段的 $t(x)$，得到显式的分段函数 $f(x)$，然后在分界点逐阶用导数定义查左右导数。这类「问 $f^{\prime }$、$f^{\prime \prime }$ 存不存在/连不连续」的题，答案往往卡在某一阶：这里一阶完全光滑，到二阶左右极限一个 $-2$ 一个 $\frac{2}{9}$ 对不上，$f^{\prime \prime }(0)$ 就没了。

本题考查导数的定义与分段函数的可导性。 参数含 $|t|$，先由 $x=2t+|t|$ 反解 $t$，把 $f(x)$ 写成显式分段函数，再逐阶考察光滑性。

由 $x=2t+|t|=\{\begin{array}{ll}3t,& t⩾0\\ t,& t<0\end{array}$，它在 $\mathbb{R}$ 上严格增、值域为 $\mathbb{R}$，故存在反函数 $t=\{\begin{array}{ll}x/3,& x⩾0\\ x,& x<0\end{array}$。代入 $y=|t|\sin t$ 得
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{3}\sin \frac{x}{3},& x⩾0,\\ -x\sin x,& x<0.\end{array}$$

连续性与一阶导。 $f(x)$ 在 $x\ne 0$ 处显然连续，又 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0=f(0)$，故连续。按定义
$$f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x\sin x}{x}=0,f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{x}{3}\sin \frac{x}{3}}{x}=0,$$
故 $f^{\prime }(0)=0$ 存在（排除 A）。

$f^{\prime }(x)$ 连续性。 当 $x<0$，$f^{\prime }(x)=-\sin x-x\cos x$；当 $x>0$，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}\left(\sin \frac{x}{3}+\frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}\right)$。两侧 $\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=0=f^{\prime }(0)$，故 $f^{\prime }(x)$ 连续（排除 B）。

二阶导。 用定义
$$f_{-}^{\prime \prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-\sin x-x\cos x}{x}=-(1+1)=-2,$$
$$f_{+}^{\prime \prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{3}\left(\sin \frac{x}{3}+\frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}\right)}{x}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{9}.$$
由于 $f_{-}^{\prime \prime }(0)\ne f_{+}^{\prime \prime }(0)$，故 $f^{\prime \prime }(0)$ 不存在。综上 $f^{\prime }(x)$ 连续但 $f^{\prime \prime }(0)$ 不存在，选 C。