2023 年考研数学（二） 第 4 题

「解有界」这个条件要翻译成对特征根的要求。二阶常系数齐次方程的解都是 ${\mathrm{e}}^{\lambda x}$ 型（或乘多项式、三角）。指数因子 ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ 只要 $\alpha \ne 0$ 就在某一端跑向无穷，唯一能让全体解有界的情形是一对纯虚根 $\pm \beta \mathrm{i}$——此时解是纯三角函数。纯虚根要求实部 $-\frac{a}{2}=0$（得 $a=0$）且判别式为负（得 $b>0$）。

本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的解。 特征方程为 ${\lambda }^2+a\lambda +b=0$，判别式 $\Delta =a^2-4b$。由于零解总是有界解，题意实为「该方程的所有解都有界」，需保证通解中不出现无界的指数因子。

关键事实：当 $\lambda \ne 0$ 为实数时 ${\mathrm{e}}^{\lambda x}$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上无界；对复根 $\lambda =\alpha \pm \beta \mathrm{i}$，解含因子 ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$，当 $\alpha \ne 0$ 时也无界。分三种情形讨论。

① $\Delta >0$：两不同实根，至少一个非零，通解 $C_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}$ 中含无界解。
② $\Delta =0$：重根 $\lambda$，通解 $(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{\lambda x}$，取 $C_2=1$ 也无界。
③ $\Delta <0$：复根 $\lambda =-\frac{a}{2}\pm \frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}\mathrm{i}$，通解 ${\mathrm{e}}^{-\frac{a}{2}x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$。仅当实部 $\alpha =-\frac{a}{2}=0$ 即 $a=0$ 时，解 $C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x$ 才恒有界。

由 $a=0$ 及 $\Delta =a^2-4b=-4b<0$ 得 $b>0$。故 $a=0,b>0$，应选 C。