2023 年考研数学（二） 第 3 题

比较两个由递推给出的无穷小，核心是各自「衰减多快」。$y_{n+1}=y_n^2$ 一望就知每步平方，是双指数级的极快衰减，通项 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2^{n-1}}$；而 $x_{n+1}=\sin x_n$ 每步只减少一点点（$\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$），用泰勒下界 $x_{n+1}>\frac{x_n}{2}$ 就能压出 $x_n>{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ 这条单指数下界。双指数比单指数快得多，故 $y_n$ 先趋于零、是高阶无穷小。

本题考查无穷小的阶的比较与数列极限。 只需估计 $x_n$、$y_n$ 各自趋于 $0$ 的快慢，比较 $\frac{y_n}{x_n}$ 的极限。

先看 $\{y_n\}$：由 $y_1=\frac{1}{2},y_{n+1}=y_n^2$ 递推得 $y_n=y_1^{2^{n-1}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{2^{n-1}}$，它以「双指数」速度衰减到 $0$。

再估计 $\{x_n\}$。用归纳法可证 $x_n\in (0,1)$。由 $\sin x$ 的泰勒公式，存在 ${\xi }_n\in (0,x_n)$，使
$$x_{n+1}=\sin x_n=x_n-\frac{\cos {\xi }_n}{6}{x}_n^3>x_n-\frac{x_n^3}{6}>\frac{x_n}{2},$$
于是 $x_n>\frac{1}{2}{x}_{n-1}>\cdots >{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}{x}_1={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$，即 $x_n$ 至多以「单指数」速度衰减，衰减远慢于 $y_n$。

因此
$$0<\frac{y_n}{x_n}<\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2^{n-1}}}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{2^{n-1}-n}\to 0(n\to \infty ),$$
由夹逼准则 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{y_n}{x_n}=0$，即 $y_n$ 是 $x_n$ 的高阶无穷小，应选 B。