2023 年考研数学（二） 第 2 题

选原函数的题目有个万能思路：原函数一定连续、且逐段求导要回到 $f(x)$。先用「求导验证」砍掉一半选项（这里 $x>0$ 段用分部积分 $\int (x+1)\cos xdx=(x+1)\sin x+\cos x$）；剩下只差常数的两项，再用「分界点连续」这道关卡，算出右段在 $0^{+}$ 的极限是 $1$，逼着左段也取到 $1$，于是那个 $+1$ 不能少，锁定 D。

本题考查原函数的概念。 原函数 $F(x)$ 必须处处满足 $F^{\prime }(x)=f(x)$，因而必然连续、可导，可先用「求导对不对」和「分界点连续」两把尺子筛选。

先看两段的求导：
$${\left[(x+1)\cos x-\sin x\right]}^{\prime }=\cos x-(x+1)\sin x-\cos x=-(x+1)\sin x\ne f(x),$$
$${\left[(x+1)\sin x+\cos x\right]}^{\prime }=\sin x+(x+1)\cos x-\sin x=(x+1)\cos x=f(x).$$
故 $x>0$ 段必须是 $(x+1)\sin x+\cos x$，排除 A、B。

对 $x⩽0$ 段，$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+x^2}}=\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+C_1$，C、D 均满足求导要求，只差常数，需用连续性定夺。

在分界点 $x=0$ 处要求左右极限相等：右段 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left[(x+1)\sin x+\cos x\right]=1$；左段 C 为 $\ln 1=0$，D 为 $\ln 1+1=1$。只有 D 在 $x=0$ 处连续，故选 D。