2023 年考研数学（二） 第 1 题

看到「求斜渐近线」直接套两步极限公式。难点在第二步 $b=\lim x[\ln (\cdots )-1]$ 是 $\infty \cdot 0$ 型：关键一招是把常数 $1$ 写成 $\ln \mathrm{e}$ 塞进对数里，凑成 $\ln \left(1+\frac{1}{\mathrm{e}(x-1)}\right)$，再用 $\ln (1+u)\sim u$ 把对数线性化，剩下的就是普通分式极限。

本题考查斜渐近线的计算。 若 $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=k$（$k\ne 0$），$\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-kx]=b$，则 $y=kx+b$ 为曲线的斜渐近线。

先求斜率：
$$k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)=\ln \mathrm{e}=1.$$

再求截距。注意 $\ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)-1=\ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)-\ln \mathrm{e}=\ln \left(1+\frac{1}{\mathrm{e}(x-1)}\right)\sim \frac{1}{\mathrm{e}(x-1)}(x\to \infty )$，于是
$$b=\underset{x\to \infty }{\lim }(y-x)=\underset{x\to \infty }{\lim }x\left[\ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)-1\right]=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{\mathrm{e}(x-1)}=\frac{1}{\mathrm{e}}.$$

故斜渐近线方程为 $y=x+\frac{1}{\mathrm{e}}$，应选 B。