2023 年考研数学（二） 第 18 题

二元极值老三步：求偏导、解驻点、$AC-B^2$ 判别。此题驻点求解有个小关卡——$f_x=0$ 先给出 $x=-{\mathrm{e}}^{\cos y}$（注意它恒不为零），把它的信息（$x\ne 0$）用到 $f_y=0$ 上才能干脆地推出 $\sin y=0$。于是驻点按 $y$ 的奇偶周期分成两族，分别判别：一族 $AC-B^2>0$ 是极小值，另一族 $<0$ 被排除。三角函数的周期性使极小值点有无穷多个，但极小值都是同一个 $-\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}$。

本题考查二元函数的无条件极值。 先解方程组 $f_x=f_y=0$ 求驻点，再用二阶充分条件（$AC-B^2$ 判别法）判定。

求驻点。
$$f_x={\mathrm{e}}^{\cos y}+x,f_y=-x\sin y{\mathrm{e}}^{\cos y}.$$
令 $f_x=0$ 得 $x=-{\mathrm{e}}^{\cos y}\ne 0$；再令 $f_y=0$，因 $x\ne 0,{\mathrm{e}}^{\cos y}>0$，须 $\sin y=0$，即 $y=k\pi (k\in \mathbf{Z})$。
- $y=2k\pi$：$\cos y=1$，$x=-\mathrm{e}$，驻点 $(-\mathrm{e},2k\pi )$；
- $y=(2k+1)\pi$：$\cos y=-1$，$x=-{\mathrm{e}}^{-1}$，驻点 $(-{\mathrm{e}}^{-1},(2k+1)\pi )$。

二阶偏导。
$$f_{xx}=1,f_{xy}=-\sin y{\mathrm{e}}^{\cos y},f_{yy}=x{\mathrm{e}}^{\cos y}({\sin }^{2}y-\cos y).$$

判定。 对驻点 $(-\mathrm{e},2k\pi )$：$A=f_{xx}=1$，$B=f_{xy}=0$，$C=f_{yy}=(-\mathrm{e})\mathrm{e}(0-1)={\mathrm{e}}^2$，$AC-B^2={\mathrm{e}}^2>0$ 且 $A>0$，故为极小值点，极小值
$$f(-\mathrm{e},2k\pi )=-\mathrm{e}\cdot \mathrm{e}+\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}=-\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}.$$

对驻点 $(-{\mathrm{e}}^{-1},(2k+1)\pi )$：$A=1$，$B=0$，$C=(-{\mathrm{e}}^{-1}){\mathrm{e}}^{-1}(0-(-1))=-{\mathrm{e}}^{-2}$，$AC-B^2=-{\mathrm{e}}^{-2}<0$，故非极值点。

结论。 $f(x,y)$ 只有极小值，极小值为 $f(-\mathrm{e},2k\pi )=-\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}(k\in \mathbf{Z})$，无极大值。