2021 年考研数学（二） 第 2 题

分段函数在分界点的性态，盯住分界点逐级验证即可。这里的陷阱是：看到函数值被补成 $1$、图像光滑，容易误判成极值点，但极值的必要条件是可导点处 $f^{\prime }=0$。先老老实实算 $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}\ne 0$，导数一旦非零，取极大/极小值的选项立即排除，只剩「可导且导数不为 $0$」。

本题考查分段函数在分界点处的连续性与可导性。 只需关注分界点 $x=0$，按「连续 → 可导 → 是否极值」的顺序判断。

连续性： 由 $e^x-1\sim x$，$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1=f(0)$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。

可导性： 用导数定义
$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{e^x-1}{x}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{x^2}.$$
由 $e^x-1-x\sim \frac{x^2}{2}$，得 $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}\ne 0$。故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导且导数不为 $0$。

由于 $f^{\prime }(0)\ne 0$，$x=0$ 不满足可导函数取极值的必要条件（$f^{\prime }=0$），因此 A、B 均不正确。故选 D。