2021 年考研数学（二） 第 1 题

比较无穷小的阶，标准动作是算比值极限：极限为 $0$ 说明分子高阶，为 $\infty$ 说明低阶，为非零常数说明同阶（等于 $1$ 才是等价）。本题也可直接估阶——被积函数 $e^{t^3}-1\sim t^3$，积分后约为 ${\int }_0^{x^2}{t}^{3}dt=\frac{x^8}{4}$，是 $8$ 阶无穷小，高于 $x^7$ 的 $7$ 阶，故为高阶无穷小。

本题考查无穷小量阶的比较。 只需计算比值极限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x^2}(e^{t^3}-1)dt}{x^7}$，看它是 $0$、$\infty$ 还是非零常数。

分子是变限积分，用洛必达法则。注意上限为 $x^2$，求导要乘以 $(x^2{)}^{\prime }=2x$：
$$\frac{d}{dx}{\int }_0^{x^2}(e^{t^3}-1)dt=\left(e^{(x^2{)}^3}-1\right)\cdot 2x=2x\left(e^{x^6}-1\right).$$
于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x^2}(e^{t^3}-1)dt}{x^7}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x\left(e^{x^6}-1\right)}{7x^6}.$$

再由 $x\to 0$ 时 $e^{x^6}-1\sim x^6$，得
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x\cdot x^6}{7x^6}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{7}=0.$$
比值极限为 $0$，说明分子是比 $x^7$ 更高阶的无穷小，即所给积分是 $x^7$ 的高阶无穷小。故选 C。