2021 年考研数学（二） 第 3 题

相关变化率的通用套路：先写出目标量对基本量的函数关系，再对时间 $t$ 用链式法则展开，最后代入某一时刻的数值。本题的「符号陷阱」在高的变化率 $\frac{dh}{dt}=-3<0$：虽然半径在增大，但高在缩短，且高的减小对体积的负贡献 $r^2\frac{dh}{dt}=-300$ 超过半径增大的正贡献 $2rh\frac{dr}{dt}=200$，导致体积反而在减小。表面积则要记全「两底面 $2\pi r^2$ + 侧面 $2\pi rh$」，漏掉底面会算错。

本题考查相关变化率（导数的物理应用）。 记底面半径 $r=r(t)$、高 $h=h(t)$，则体积 $V=\pi r^{2}h$、表面积 $S=2\pi r^2+2\pi rh$ 都随 $t$ 变化，用链式法则求 $\frac{dV}{dt}$、$\frac{dS}{dt}$。已知 $r=10,h=5,\frac{dr}{dt}=2,\frac{dh}{dt}=-3$。

体积： $V=\pi r^{2}h$，
$$\frac{dV}{dt}=\pi \left(2rh\frac{dr}{dt}+r^2\frac{dh}{dt}\right)=\pi (2\cdot 10\cdot 5\cdot 2+10^2\cdot (-3))=\pi (200-300)=-100\pi ({\text{cm}}^3/\text{s}).$$

表面积： $S=2\pi r^2+2\pi rh$，
$$\frac{dS}{dt}=2\pi \left(2r\frac{dr}{dt}\right)+2\pi (h\frac{dr}{dt}+r\frac{dh}{dt})=4\pi r\frac{dr}{dt}+2\pi (h\frac{dr}{dt}+r\frac{dh}{dt}).$$
代入得
$$\frac{dS}{dt}=4\pi \cdot 10\cdot 2+2\pi (5\cdot 2+10\cdot (-3))=80\pi +2\pi (10-30)=80\pi -40\pi =40\pi ({\text{cm}}^2/\text{s}).$$

于是 $\frac{dV}{dt}=-100\pi {\text{cm}}^3/\text{s}$，$\frac{dS}{dt}=40\pi {\text{cm}}^2/\text{s}$。故选 C。