2021 年考研数学（二） 第 4 题

含参函数零点个数问题，核心是「用单调性把函数图像的大致形状画出来，再让最值越过 $x$ 轴」。这里 $f$ 是一个「先减后增」的下凸形，两端都趋于 $+\infty$，所以恰有两个零点的充要条件就是谷底（最小值）严格小于零。把最小值表达式 $b\left(1-\ln \frac{b}{a}\right)$ 与 $0$ 比较，$b>0$ 可约去，最后落到熟悉的 $\ln \frac{b}{a}>1$，即 $\frac{b}{a}>e$。

本题考查利用导数分析函数性态、讨论零点个数。 定义域 $(0,+\infty )$，$f^{\prime }(x)=a-\frac{b}{x}$。

若 $b\le 0$，则 $f^{\prime }(x)=a-\frac{b}{x}>0$（$a>0$），$f$ 单调增加，至多 $1$ 个零点，不符合。故必有 $b>0$。

当 $b>0$ 时，$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=\frac{b}{a}$；在 $\left(0,\frac{b}{a}\right)$ 上 $f^{\prime }<0$、在 $\left(\frac{b}{a},+\infty \right)$ 上 $f^{\prime }>0$，故 $f$ 先减后增，$x=\frac{b}{a}$ 处取最小值。又 ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$，${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$，因此 $f$ 有 $2$ 个零点当且仅当最小值小于 $0$。

计算最小值：
$$f\left(\frac{b}{a}\right)=a\cdot \frac{b}{a}-b\ln \frac{b}{a}=b\left(1-\ln \frac{b}{a}\right).$$
由 $b>0$，$f\left(\frac{b}{a}\right)<0⟺1-\ln \frac{b}{a}<0⟺\ln \frac{b}{a}>1⟺\frac{b}{a}>e$。故 $\frac{b}{a}\in (e,+\infty )$，选 A。