2021 年考研数学（二） 第 5 题

求某点的泰勒多项式有两条路：逐阶求导代值，或利用已知函数的展开式做代数运算。$\sec x$ 是偶函数，展开式只含偶次幂，所以一次项系数 $a$ 必为 $0$——这一步观察就能排除 A、B。剩下只需定二次项：由 $\cos x$ 的展开取倒数最快，$\frac{1}{1-\frac{x^2}{2}}\approx 1+\frac{x^2}{2}$，得 $b=\frac{1}{2}$。

本题考查泰勒多项式的计算。 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的 $2$ 次泰勒多项式为 $f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2$，故 $a=f^{\prime }(0)$，$b=\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}$。

依次求导：
$$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x,(\sec x{)}^{\prime \prime }=(\sec x\tan x{)}^{\prime }=\sec x{\tan }^{2}x+{\sec }^{3}x.$$
代入 $x=0$：$f(0)=\sec 0=1$，$f^{\prime }(0)=\sec 0\tan 0=0$，$f^{\prime \prime }(0)=1\cdot 0+1=1$。

因此 $a=f^{\prime }(0)=0$，$b=\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}=\frac{1}{2}$，$2$ 次泰勒多项式为 $1+\frac{1}{2}{x}^2$。故选 D。

也可用现成展开：$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，故 $\sec x=\frac{1}{1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)}=1+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，直接读出 $a=0,b=\frac{1}{2}$。