2021 年考研数学（二） 第 6 题

已知的是「$f$ 沿两条曲线的取值」，要求的是「$f$ 在一点的偏导」。桥梁就是多元复合函数求导：对每个恒等式两端关于 $x$ 求导，把 $f_x^{\prime },f_y^{\prime }$ 作为未知数「凑」出方程。关键是选取让内层坐标同时落到 $(1,1)$ 的 $x$ 值（这里分别是 $x=0$ 与 $x=1$），两条曲线在该点的切向不同，于是得到两个独立方程，解出 $f_x^{\prime }(1,1)=0,f_y^{\prime }(1,1)=1$。

本题考查全微分的概念与抽象复合函数的偏导数。 由 $df(1,1)=f_x^{\prime }(1,1)dx+f_y^{\prime }(1,1)dy$，只需求出 $f_x^{\prime }(1,1)$ 与 $f_y^{\prime }(1,1)$。对两个恒等式两端关于 $x$ 求导并代值即可。

对 $f(x+1,e^x)=x(x+1{)}^2$ 两端关于 $x$ 求导：
$$f_x^{\prime }(x+1,e^x)\cdot 1+f_y^{\prime }(x+1,e^x)\cdot e^x=(x+1{)}^2+2x(x+1)=(x+1)(3x+1).$$
令 $x=0$（对应点 $(1,1)$）：$f_x^{\prime }(1,1)+f_y^{\prime }(1,1)=1.(1)$

对 $f(x,x^2)=2x^2\ln x$ 两端关于 $x$ 求导：
$$f_x^{\prime }(x,x^2)\cdot 1+f_y^{\prime }(x,x^2)\cdot 2x=4x\ln x+2x^2\cdot \frac{1}{x}=2x(2\ln x+1).$$
令 $x=1$（对应点 $(1,1)$）：$f_x^{\prime }(1,1)+2f_y^{\prime }(1,1)=2.(2)$

联立 $(1)(2)$：$(2)-(1)$ 得 $f_y^{\prime }(1,1)=1$，再代回得 $f_x^{\prime }(1,1)=0$。故
$$df(1,1)=0\cdot dx+1\cdot dy=dy.$$
选 C。