2021 年考研数学（二） 第 7 题

把和式还原成定积分，只需两样对齐：样本点落在哪个小区间、宽度系数与分段是否一致。$n$ 等分时宽度必是 $\frac{1}{n}$；$\frac{2k-1}{2n}$（$k=\mathrm{1..}n$）是各段中点，配 $\frac{1}{n}$ 正好是中矩形公式，对应 B。其余选项要么把宽度写错成 $\frac{1}{2n}$ 却只求 $n$ 项（少一半），要么求 $2n$ 项却配 $\frac{1}{n}$（多一倍），一算「项数×宽度」不等于 $1$ 即知错。

本题考查定积分的定义（用和式的极限表示定积分）。 因 $f$ 连续，${\int }_0^{1}f(x)dx$ 存在，可对 $[0,1]$ 作任意分割、取任意样本点写成黎曼和的极限。

将 $[0,1]$ 等分为 $n$ 份，小区间为 $\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]$，宽度 $\Delta x=\frac{1}{n}$；取每段中点 ${\xi }_k=\frac{2k-1}{2n}$ 作样本点，则
$${\int }_0^{1}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{2k-1}{2n}\right)\cdot \frac{1}{n}.$$
这正是选项 B。

验证其余选项的宽度系数与项数不匹配：
选项 A：宽度写成 $\frac{1}{2n}$，实为 $\frac{1}{2}{\int }_0^{1}f$；
选项 C：$2n$ 项（宽度应为 $\frac{1}{2n}$）却乘 $\frac{1}{n}$，实为 $2{\int }_0^{1}f$；
选项 D：实为 $4{\int }_0^{1}f$。均不等于 ${\int }_0^{1}f$。故选 B。