2021 年考研数学（二） 第 8 题

求惯性指数不必老实写矩阵、算特征值——本题的三个完全平方是「同一批变量的线性组合」，做一次可逆代换就把六个二次项塌缩成 $2y_1{y}_2$。看到「只剩交叉项」就用平方差换元配方，立刻得到 $2z_1^2-2z_2^2$，正负各一。若不放心，特征值法作校验：矩阵特征值 $0,3,-1$，正负零各一个，秩为 $2$，也直接排除了正负指数之和为 $3$ 的 C、D。

本题考查二次型的正、负惯性指数。 正（负）惯性指数是标准形中正（负）系数的个数，在可逆线性变换下不变。

配方法： 令 $y_1=x_1+x_2,y_2=x_2+x_3,y_3=x_3$，则 $x_3-x_1=y_2-y_1$，该变换可逆。于是
$$f=y_1^2+y_2^2-(y_2-y_1{)}^2=2y_1{y}_2.$$
再令 $y_1=z_1+z_2,y_2=z_1-z_2,y_3=z_3$，得
$$f=2(z_1+z_2)(z_1-z_2)=2z_1^2-2z_2^2,$$
标准形有一个正系数、一个负系数，故正、负惯性指数为 $1,1$。选 B。

验证（特征值法）： 展开得 $f=2x_2^2+2x_1{x}_2+2x_2{x}_3+2x_1{x}_3$，对应矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$，其特征多项式 $|\lambda E-A|=\lambda (\lambda -3)(\lambda +1)$，特征值为 $0,3,-1$——一正一负一零，正惯性指数 $1$、负惯性指数 $1$，与配方法一致。