2021 年考研数学（二） 第 9 题

把「线性表示」翻译为矩阵等式 $A=BP$ 是本题的钥匙。四个选项无非在 $\{A,B\}$ 与 $\{$转置或不转置$\}$ 之间排列组合，逐一验证太慢。抓住 $A=BP$ 后，凡是「右边乘 $x$」的推理（$Ax=BPx$）都断不出 $Bx$ 的信息；而一旦转置成 $A^T=P^T{B}^T$，$B^{T}x=0$ 就能顺着乘出 $A^{T}x=0$，唯一能一步成立的就是 D。

本题考查向量组的线性表示与齐次方程组解的关系。 由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 可由 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 线性表示，存在矩阵 $P$ 使 $A=BP$。

对 $A=BP$ 两端转置得 $A^T=P^T{B}^T$。于是若 $x_0$ 满足 $B^T{x}_0=0$，则
$$A^T{x}_0=P^T{B}^T{x}_0=P^T\cdot 0=0,$$
即 $B^{T}x=0$ 的解都是 $A^{T}x=0$ 的解。故 D 正确。

其余选项不成立：$A=BP$ 只保证 $A$ 的列可由 $B$ 的列表示，一般 $Ax=0$ 的解不一定使 $Bx=0$（A 错），$Bx=0$ 的解也不一定使 $Ax=0$（C 错）；$A^{T}x=0$ 与 $B^{T}x=0$ 的包含方向与 D 相反（B 错）。故选 D。

几何理解： $Px=0$ 的解与 $P$ 的行向量都正交。$A^T$ 的行向量组（即 $A$ 的列 ${\alpha }_i$）可由 $B^T$ 的行向量组（即 $B$ 的列 ${\beta }_i$）线性表示，故与所有 ${\beta }_i$ 正交的向量必与所有 ${\alpha }_i$ 正交，这正是「$B^{T}x=0\Rightarrow A^{T}x=0$」。