2021 年考研数学（二） 第 10 题

题干把 $P$ 限定为下三角、$Q$ 为上三角，正是暗示「$P$ 收集行消元、$Q$ 收集列消元」。选项 A、B 各带一个单位阵，意味着只做单侧变换，而单侧初等变换一般不能把一般矩阵化成对角阵，可先排除。真正要算的是 C：把 $A$ 行化简为上三角得 $P$，再列化简清掉剩余非对角元得 $Q$。考场上最稳的是直接代入算 $PAQ$，一步验真伪。

本题考查矩阵的初等变换。 左乘可逆矩阵 $P$ 相当于对 $A$ 作行变换，右乘可逆矩阵 $Q$ 相当于作列变换。要使 $PAQ$ 为对角阵，$P$ 记录把 $A$ 化为上三角所需的行变换、$Q$ 记录进一步化为对角所需的列变换。

第一步（行变换 → $P$）： 对 $A$ 作 $r_2-2r_1,r_3+r_1$，再 $r_2\times (-1)$、$r_3-2r_2$，可将 $A$ 化为 $U=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$。记录这些行变换得下三角可逆矩阵 $P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ -3& 2& 1\end{array}\right)$，即 $PA=U$。

第二步（列变换 → $Q$）： 对 $U$ 作列变换 $c_3+c_1+3c_2$ 消去第三列，得对角阵 $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$。记录该列变换得上三角可逆矩阵 $Q=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。

验证 $PAQ=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -3& 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& -1& 1\\ -1& 2& -5\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 为对角矩阵。故选 C。（选项 A、B 各含一个单位阵，只作单侧变换无法把 $A$ 变成对角阵；D 经代入验证也不对。）