2021 年考研数学（二） 第 11 题

见到 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }$ 且被积函数含 $|x|$，第一反应是判奇偶：这里是偶函数，折成两倍的半轴积分正好把 $|x|$ 去成 $x$。凑微分 $xdx=\frac{1}{2}d(x^2)$ 把 $x^2$ 整体换成 $u$，剩下就是标准的指数反常积分 ${\int }_0^{+\infty }{3}^{-u}du=\frac{1}{\ln 3}$。

本题考查反常积分的计算。 被积函数 $|x|3^{-x^2}$ 是偶函数，利用对称性化为 $[0,+\infty )$ 上的积分。

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x|3^{-x^2}dx=2{\int }_0^{+\infty }x{3}^{-x^2}dx.$$
注意 $xdx=\frac{1}{2}d(x^2)$，故
$$2{\int }_0^{+\infty }x{3}^{-x^2}dx={\int }_0^{+\infty }{3}^{-x^2}d(x^2)={\int }_0^{+\infty }{3}^{-u}du.$$

而 ${\int }_0^{+\infty }{3}^{-u}du={\frac{3^{-u}}{-\ln 3}|}_0^{+\infty }=0-\left(-\frac{1}{\ln 3}\right)=\frac{1}{\ln 3}.$
故所求积分为 $\frac{1}{\ln 3}$。