2021 年考研数学（二） 第 12 题

参数方程二阶导的公式核心是「每对 $x$ 求一次导，就除一次 $\frac{dx}{dt}$」。本题一阶导化简后出现约分奇迹：$\frac{4t{e}^t+2t}{2e^t+1}=2t$，这大大简化了后续——对 $2t$ 求 $t$ 导得 $2$，再除以 $\frac{dx}{dt}=2e^t+1$ 即可。看到分子能提出与分母相同的因子时要果断约分，能省去繁琐的商法则二阶求导。

本题考查由参数方程确定的函数的（二阶）导数计算。

先求一阶导。$\frac{dx}{dt}=2e^t+1$，$\frac{dy}{dt}=4[e^t+(t-1)e^t]+2t=4t{e}^t+2t$。故
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{4t{e}^t+2t}{2e^t+1}=\frac{2t(2e^t+1)}{2e^t+1}=2t.$$

再对 $\frac{dy}{dx}=2t$ 求二阶导：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{\frac{d}{dt}(2t)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{2}{2e^t+1}.$$

代入 $t=0$：${\frac{d^{2}y}{d{x}^2}|}_{t=0}=\frac{2}{2\cdot 1+1}=\frac{2}{3}.$