2021 年考研数学（二） 第 13 题

隐函数求某点偏导，最省事的顺序是「先定点值，再在求导式里直接代数」——不用先解出通用的 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 表达式。定 $z(0,2)$ 时遇到超越方程 $z+2\ln z=1$，靠观察试根 $z=1$，并用单调性说明唯一。求偏导时对 $(x+1)z$ 用乘积法则、对 $y\ln z$ 记得 $\frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial x}$、对 $\arctan (2xy)$ 按复合求导，最后一代即得 $1$。

本题考查由方程确定的多元隐函数的偏导数。 先定出点 $(0,2)$ 处的 $z$ 值，再对确定式两端关于 $x$ 求偏导。

将 $x=0,y=2$ 代入方程：$(0+1)z+2\ln z-\arctan 0=1$，即 $z+2\ln z=1$。观察到 $z=1$ 满足；且 $g(z)=z+2\ln z-1$ 有 $g^{\prime }(z)=1+\frac{2}{z}>0$ 单调增，故 $z=1$ 是唯一解，即 $z(0,2)=1$。

对方程两端关于 $x$ 求偏导（$z$ 视为 $x,y$ 的函数）：
$$z+(x+1)\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{y}{z}\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{2y}{1+4x^2{y}^2}=0.$$

代入 $x=0,y=2,z=1$：
$$1+(0+1)\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{2}{1}\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{2\cdot 2}{1+0}=0\Rightarrow 3\frac{\partial z}{\partial x}-3=0\Rightarrow {\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(0,2)}=1.$$