2021 年考研数学（二） 第 14 题

当参数 $t$ 分布在二次积分的多个限里，硬求导会同时冒出上限项与被积函数对 $t$ 的偏导，很乱。聪明的做法是先交换积分次序，把 $t$ 「赶」到单一的外层上限上，这样 $f^{\prime }(t)$ 就退化成「被积函数在上限处取值」这一项。关键是内层对 $x$ 的积分要能积出——$\int \sin \frac{x}{y}dx=-y\cos \frac{x}{y}$ 恰好可积。代 $t=\frac{\pi }{2}$ 时 $\cos \frac{\pi }{2}=0$ 干掉一项，留下略显别扭但正确的 $\frac{\pi }{2}\cos \frac{2}{\pi }$。

本题考查二次积分交换积分次序与变限积分求导。 参数 $t$ 同时出现在外层上限 $t^2$ 与内层上限 $t$，直接求导不便，先交换积分次序把 $t$ 集中到外层上限。

原二次积分对应的积分区域边界为 $y=\sqrt{x},y=t,x=1,x=t^2$，写成 X 型区域 $D=\{(x,y)\mid \sqrt{x}\le y\le t,1\le x\le t^2\}$。交换次序写成 Y 型区域 $D=\{(x,y)\mid 1\le x\le y^2,1\le y\le t\}$，于是
$$f(t)={\int }_1^{t}dy{\int }_1^{y^2}\sin \frac{x}{y}dx={\int }_1^t{\left[-y\cos \frac{x}{y}\right]}_{x=1}^{x=y^2}dy={\int }_1^t\left(-y\cos y+y\cos \frac{1}{y}\right)dy.$$

现在 $t$ 只在外层上限，由变限积分求导公式
$$f^{\prime }(t)=-t\cos t+t\cos \frac{1}{t}=t\left(\cos \frac{1}{t}-\cos t\right).$$

代入 $t=\frac{\pi }{2}$（此时 $\cos t=\cos \frac{\pi }{2}=0$，$\cos \frac{1}{t}=\cos \frac{2}{\pi }$）：
$$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}\left(\cos \frac{2}{\pi }-0\right)=\frac{\pi }{2}\cos \frac{2}{\pi }.$$