2021 年考研数学（二） 第 15 题

常系数齐次线性 ODE 的通解完全由特征根决定。这里 $r^3=1$ 是「$1$ 的三次方根」，一个实根 $1$、两个共轭复根 $-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$。复根的实部 $-\frac{1}{2}$ 进指数 $e^{-x/2}$、虚部 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 进三角函数的频率。记住「实根配指数、复根配衰减指数乘三角」，三项各带一个任意常数即成通解。

本题考查 $3$ 阶常系数齐次线性微分方程的解法。 由方程写出特征方程，解出特征根，再按根的类型写通解。

特征方程为 $r^3-1=0$，分解因式 $(r-1)(r^2+r+1)=0$，解得
$$r_1=1,r_{2,3}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i.$$

单实根 $r_1=1$ 对应一项 $C_1{e}^x$；一对共轭复根 $-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$（$\alpha =-\frac{1}{2},\beta =\frac{\sqrt{3}}{2}$）对应两项 $e^{\alpha x}(C_2\cos \beta x+C_3\sin \beta x)$。因此通解为
$$y=C_1{e}^x+e^{-\frac{x}{2}}\left(C_2\cos \frac{\sqrt{3}}{2}x+C_3\sin \frac{\sqrt{3}}{2}x\right),$$
其中 $C_1,C_2,C_3$ 为任意常数。