2021 年考研数学（二） 第 16 题

行列式里出现「求某次幂系数」，回到定义按项分析最稳。含 $x$ 的元素位置固定，取 $3$ 个 $x$、$1$ 个常数就是在这些位置里挑一个「不取 $x$」的行，同时保证列不重复。第 $2,3,4$ 行各自只有一个 $x$（锁死对应列），这个约束把可能性压缩到两条：一条给 $-x^3$，一条因 $(1,4)=2x$ 且 $(4,1)=2$ 给 $-4x^3$。两项符号都由逆序数算得为负，合计 $-5$。

本题考查行列式的定义（完全展开式）。 行列式的每一项是取自不同行、不同列的 $4$ 个元素之积，带符号 $(-1{)}^{\tau }$（$\tau$ 为列标排列的逆序数）。含 $x$ 的元素在 $(1,1),(1,2),(1,4),(2,2),(3,3),(4,4)$。要得到 $x^3$，须恰好取 $3$ 个含 $x$ 的元素、$1$ 个常数元素。

分析可行的取法： 第 $2,3,4$ 行的含 $x$ 元素分别只在第 $2,3,4$ 列。若从第 $1$ 行取常数，则只能取 $(1,3)=1$，但第 $3$ 列会与第 $3$ 行的 $x$ 冲突，无法凑成排列。逐行讨论后，仅有两种取到 $3$ 个 $x$ 的合法排列：

① 取 $a_{12}{a}_{21}{a}_{33}{a}_{44}=x\cdot 1\cdot x\cdot x$，列标排列为 $2,1,3,4$，逆序数 $\tau =1$，该项为 $(-1{)}^1\cdot 1\cdot x^3=-x^3$；
② 取 $a_{14}{a}_{22}{a}_{33}{a}_{41}=2x\cdot x\cdot x\cdot 2$，列标排列为 $4,2,3,1$，逆序数 $\tau =5$，该项为 $(-1{)}^5\cdot 4\cdot x^3=-4x^3$。

因此 $f(x)$ 的 $x^3$ 项为 $-x^3+(-4x^3)=-5x^3$，$x^3$ 的系数为 $-5$。