2021 年考研数学（二） 第 17 题

$\infty -\infty$ 的第一步永远是「通分变 $\frac{0}{0}$」。通分后分母是两个一阶无穷小之积，等价替换成 $x^2$，问题就变成「分子展开到 $x^2$」。这里的要点是把握精度：分母是 $x^2$，分子就要展到 $x^2$ 项才能定极限。注意 $\sin x$ 与括号相乘时，只有 $\sin x$ 的 $x$ 与括号里的 $1,x$ 会贡献到 $x^2$ 阶；与 $e^x-1=x+\frac{x^2}{2}$ 相减，$x$ 项抵消、$x^2$ 项留下 $\frac{1}{2}$，故极限为 $\frac{1}{2}$。

本题考查 $\infty -\infty$ 型未定式极限的计算。 先通分整理为 $\frac{0}{0}$ 型，再用等价无穷小与泰勒展开。记 $N=1+{\int }_0^x{e}^{t^2}dt$。

通分：
$$\frac{N}{e^x-1}-\frac{1}{\sin x}=\frac{N\sin x-(e^x-1)}{(e^x-1)\sin x}.$$
分母中 $e^x-1\sim x$、$\sin x\sim x$，故 $(e^x-1)\sin x\sim x^2$，可把分母替换为 $x^2$：
$$\text{原式}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x\left(1+{\int }_0^x{e}^{t^2}dt\right)-e^x+1}{x^2}.$$

对分子作到 $x^2$ 阶的展开。由 ${\int }_0^x{e}^{t^2}dt=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，得
$$\sin x\left(1+{\int }_0^x{e}^{t^2}dt\right)=\left(x-\frac{x^3}{6}\right)\left(1+x+\frac{x^3}{3}\right)+o(x^2)=x+x^2+o(x^2).$$
又 $e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，故分子
$$=(x+x^2)-(x+\frac{x^2}{2})+o(x^2)=\frac{x^2}{2}+o(x^2).$$

因此
$$\text{原式}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}=\frac{1}{2}.$$

（另解） 也可拆项：$\frac{N}{e^x-1}-\frac{1}{\sin x}=\frac{{\int }_0^x{e}^{t^2}dt}{e^x-1}+\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{\sin x}\right)$，前项极限为 $1$，后项 $\frac{\sin x-(e^x-1)}{(e^x-1)\sin x}\to -\frac{1}{2}$，合计仍为 $\frac{1}{2}$。