2021 年考研数学（二） 第 18 题

带绝对值的函数，第一步一定是分段去绝对值，并把分式做除法化成「一次式 + $\frac{c}{x+1}$」，求导立刻清爽。凹凸的隐蔽点在 $x<0$ 部分：分母 $(x+1{)}^3$ 在 $x=-1$ 处变号，所以要再分 $x<-1$ 和 $-1<x<0$ 两段，符号相反。渐近线要「左右分开算」——本题左、右两支的斜率一正一负（$y=x-1$ 与 $y=-x+1$），加上铅直的 $x=-1$，共三条，漏掉任何一侧都会少答。

本题考查用二阶导数判断凹凸、以及渐近线的求法。 先去绝对值写成分段函数：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{1+x}=x-1+\frac{1}{x+1},& x\ge 0,\\ \frac{-x^2}{1+x}=1-x-\frac{1}{x+1},& x<0.\end{array}$$

凹凸性（约定 $f^{\prime \prime }>0$ 为凹）：
当 $x\ge 0$：$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$，$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^3}>0$，故 $(0,+\infty )$ 为凹区间。
当 $x<0$：$f^{\prime }(x)=-1+\frac{1}{(x+1{)}^2}$，$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{2}{(x+1{)}^3}$。当 $x<-1$ 时 $(x+1{)}^3<0$，$f^{\prime \prime }>0$，$(-\infty ,-1)$ 为凹区间；当 $-1<x<0$ 时 $(x+1{)}^3>0$，$f^{\prime \prime }<0$，$(-1,0)$ 为凸区间。

综上，$y=f(x)$ 的凹区间为 $(-\infty ,-1)$ 和 $(0,+\infty )$，凸区间为 $(-1,0)$。

渐近线：
(1) 铅直：$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x|x|}{1+x}=\infty$，故 $x=-1$ 为铅直渐近线。
(2) 水平：$x\to \pm \infty$ 时 $f(x)\to \pm \infty$，无水平渐近线。
(3) 斜渐近线：当 $x\to +\infty$，$k=\lim \frac{f(x)}{x}=\lim \frac{x}{x+1}=1$，$b=\lim (f(x)-x)=\lim \frac{-x}{x+1}=-1$，得 $y=x-1$；当 $x\to -\infty$，$k=\lim \frac{-x}{x+1}=-1$，$b=\lim (f(x)+x)=\lim \frac{x}{x+1}=1$，得 $y=-x+1$。

因此 $y=f(x)$ 共有 $3$ 条渐近线：$x=-1$，$y=x-1$（$x\to +\infty$），$y=-x+1$（$x\to -\infty$）。