2021 年考研数学（二） 第 19 题

弧长与旋转侧面积公式里都含 $\sqrt{1+[f^{\prime }{]}^2}$，本题的「幸运结构」是它恰好是完全平方——$f^{\prime }=\frac{1}{2}(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})$ 使 $1+[f^{\prime }{]}^2=\frac{1}{4}(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^2$，开方后是初等式，积分毫无阻力。算 $A$ 时再巧用已知的 $\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=\frac{x}{3}-1$，把 $f(x)\cdot \frac{x+1}{\sqrt{x}}$ 整体替换成 $(\frac{x}{3}-1)(x+1)$，避免了根式相乘，是本题最省力的一步。

本题考查曲线弧长与旋转体侧面积的计算。 先由已知求出 $f(x)$。对 $\int \frac{f(x)}{\sqrt{x}}dx=\frac{1}{6}{x}^2-x+C$ 两端关于 $x$ 求导，得 $\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=\frac{x}{3}-1$，故
$$f(x)=\frac{x^{3/2}}{3}-\sqrt{x},f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right).$$

关键化简：
$$1+[f^{\prime }(x){]}^2=1+\frac{1}{4}\left(x-2+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{4}{\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2,\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right).$$

弧长：
$$s={\int }_4^9\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx=\frac{1}{2}{\int }_4^9\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx=\left(\frac{1}{3}{x}^{3/2}+\sqrt{x}\right){|}_4^9=(9+3)-\left(\frac{8}{3}+2\right)=\frac{22}{3}.$$

旋转曲面面积： 在 $[4,9]$ 上 $f(x)=\sqrt{x}\cdot \frac{x-3}{3}>0$，故
$$A=2\pi {\int }_4^{9}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx=\pi {\int }_4^9\frac{f(x)}{\sqrt{x}}(x+1)dx=\pi {\int }_4^9\left(\frac{x}{3}-1\right)(x+1)dx.$$

计算：
$$A=\pi {\int }_4^9\left(\frac{x^2}{3}-\frac{2x}{3}-1\right)dx=\pi \left(\frac{x^3}{9}-\frac{x^2}{3}-x\right){|}_4^9=\pi \left[45-\left(-\frac{20}{9}\right)\right]=\frac{425\pi }{9}.$$
故 $s=\frac{22}{3}$，$A=\frac{425\pi }{9}$。