2021 年考研数学（二） 第 20 题

第一问是模板化的一阶线性 ODE，积分因子一套即得 $y=C{x}^6+1$，代初值定 $C$。第二问的思路是「把几何量化成 $P$ 横坐标的一元函数再求最值」：法线的 $y$ 截距 $I_P$ 只依赖 $x$，写成 $\frac{x^6}{3}+1+\frac{1}{2x^4}$ 后就是普通的求极值。导数 $2x^5-2x^{-5}$ 令其为零得 $x^{10}=1$，即 $x=1$，两侧符号一负一正确认是极小。

本题综合考查一阶线性微分方程求解与一元函数最值。

（I） 整理 $x{y}^{\prime }-6y=-6$ 得 $y^{\prime }-\frac{6}{x}y=-\frac{6}{x}$，为一阶线性方程。积分因子 $e^{\int -\frac{6}{x}dx}=x^{-6}$，由通解公式
$$y=e^{\int \frac{6}{x}dx}\left[\int \left(-\frac{6}{x}\right)e^{-\int \frac{6}{x}dx}dx+C\right]=x^6\left[\int (-6)x^{-7}dx+C\right]=x^6\left(x^{-6}+C\right)=C{x}^6+1.$$
代入 $y(\sqrt{3})=10$：$10=1+C(\sqrt{3}{)}^6=1+27C$，解得 $C=\frac{1}{3}$。故 $y(x)=\frac{x^6}{3}+1$（$x>0$）。

（II） 曲线上点 $P(x,y)$ 处切线斜率为 $y^{\prime }=2x^5$，故法线斜率为 $-\frac{1}{2x^5}$，法线方程为
$$Y-y=-\frac{1}{2x^5}(X-x).$$
令 $X=0$ 得 $y$ 轴截距
$$I_P=y+\frac{1}{2x^4}=\frac{x^6}{3}+1+\frac{1}{2x^4}(x>0).$$

求最小值：$I_P^{\prime }(x)={\left(\frac{x^6}{3}+\frac{1}{2x^4}+1\right)}^{\prime }=2x^5-2x^{-5}=\frac{2(x^{10}-1)}{x^5}$。令 $I_P^{\prime }(x)=0$ 得 $x=1$。当 $0<x<1$ 时 $I_P^{\prime }<0$（递减），$x>1$ 时 $I_P^{\prime }>0$（递增），故 $x=1$ 处取最小值。

此时 $y=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$，即 $P\left(1,\frac{4}{3}\right)$，$I_P$ 的最小值 $I_P(1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+1=\frac{11}{6}$。