2021 年考研数学（二） 第 21 题

看到 $(x^2+y^2{)}^2=x^2-y^2$ 这种「$x^2+y^2$ 的幂配 $x^2-y^2$」的结构，几乎必用极坐标：$x^2+y^2=r^2$、$x^2-y^2=r^2\cos 2\theta$，方程立即塌缩成 $r^2=\cos 2\theta$。第一象限的限制 $x\ge 0,y\ge 0$ 加上 $\cos 2\theta \ge 0$ 把 $\theta$ 锁在 $[0,\frac{\pi }{4}]$。剩下就是标准「先 $r$ 后 $\theta$」累次积分：内层把 $r^3$ 积掉留下 ${\cos }^{2}2\theta$，外层靠 $\sin 2\theta$ 凑微分收尾。

本题考查二重积分的极坐标计算。 边界曲线是双纽线，含 $x^2+y^2$ 与 $x^2-y^2$，天然适合化极坐标。

令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，则 $x^2+y^2=r^2$，$x^2-y^2=r^2\cos 2\theta$，曲线方程 $(x^2+y^2{)}^2=x^2-y^2$ 化为 $r^4=r^2\cos 2\theta$，即 $r^2=\cos 2\theta$（$r=\sqrt{\cos 2\theta }$）。由 $x\ge 0,y\ge 0$ 知在第一象限，且需 $\cos 2\theta \ge 0$，故 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$。当 $\theta =0$ 时 $r=1$（点 $(1,0)$），$\theta =\frac{\pi }{4}$ 时 $r=0$（原点），故区域 $D$ 为 $\left\{(r,\theta ):0\le \theta \le \frac{\pi }{4},0\le r\le \sqrt{\cos 2\theta }\right\}$。

被积函数 $xy=r^2\cos \theta \sin \theta$，面积元 $dxdy=rdrd\theta$，先对 $r$ 积分：
$${\iint }_{D}xydxdy={\int }_0^{\pi /4}\cos \theta \sin \theta \left({\int }_0^{\sqrt{\cos 2\theta }}{r}^{3}dr\right)d\theta ={\int }_0^{\pi /4}\cos \theta \sin \theta \cdot \frac{{\cos }^{2}2\theta }{4}d\theta .$$

利用 $\cos \theta \sin \theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta$，得
$$=\frac{1}{8}{\int }_0^{\pi /4}\sin 2\theta {\cos }^{2}2\theta d\theta .$$
令 $u=\cos 2\theta$，$du=-2\sin 2\theta d\theta$，或直接凑微分：${\int }_0^{\pi /4}\sin 2\theta {\cos }^{2}2\theta d\theta ={\left[-\frac{{\cos }^{3}2\theta }{6}\right]}_0^{\pi /4}=-\frac{0}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{6}.$

故 ${\iint }_{D}xydxdy=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{48}$。