2021 年考研数学（二） 第 22 题

主线是「仅两个不同特征值 + 可对角化」两条件联立。先展开特征多项式得到特征值 $1,3,b$，「仅两个」逼出 $b\in \{1,3\}$，分裂成两条分支。可对角化判据用在重根上：$k$ 重特征值必须有 $k$ 个线性无关特征向量，等价于 $r({\lambda }_{0}E-A)=n-k$。这里重根都是二重，故要 $r({\lambda }_{0}E-A)=1$，这一秩条件恰好把参数 $a$ 定死（$b=1$ 配 $a=1$，$b=3$ 配 $a=-1$）。最后按特征值顺序把特征向量拼成 $P$，务必让对角矩阵元素顺序与 $P$ 的列顺序一致。

本题考查特征值、特征向量的计算与矩阵可对角化的判定。

先求特征值。特征多项式
$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& -1& 0\\ -1& \lambda -2& 0\\ -1& -a& \lambda -b\end{array}\right|=(\lambda -b)\left|\begin{array}{cc}\lambda -2& -1\\ -1& \lambda -2\end{array}\right|=(\lambda -b)[(\lambda -2{)}^2-1]=(\lambda -b)(\lambda -1)(\lambda -3),$$
（按第三列展开）。故 $A$ 的特征值为 $1,3,b$。因 $A$ 仅有两个不同的特征值，必有 $b=1$ 或 $b=3$。

情形一：$b=1$。 特征值为 $1,1,3$。$A$ 可对角化要求二重特征值 $\lambda =1$ 有 $2$ 个线性无关特征向量，即 $r(E-A)=1$。此时 $E-A=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 0\\ -1& -1& 0\\ -1& -a& 0\end{array}\right)$，要秩为 $1$ 必须 $a=1$。
解 $(E-A)x=0$（$a=1$）得 $\lambda =1$ 的特征向量 ${\xi }_1=(-1,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\xi }_2=(0,0,1{)}^{\mathrm{T}}$；解 $(3E-A)x=0$ 得 $\lambda =3$ 的特征向量 ${\xi }_3=(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$。取 $P=({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$，则 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,1,3)$。

情形二：$b=3$。 特征值为 $1,3,3$。$A$ 可对角化要求二重特征值 $\lambda =3$ 有 $2$ 个线性无关特征向量，即 $r(3E-A)=1$。此时 $3E-A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 1& 0\\ -1& -a& 0\end{array}\right)$，要秩为 $1$ 必须 $a=-1$。
解 $(3E-A)x=0$（$a=-1$）得 $\lambda =3$ 的特征向量 ${\xi }_1=(1,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\xi }_2=(0,0,1{)}^{\mathrm{T}}$；解 $(E-A)x=0$ 得 $\lambda =1$ 的特征向量 ${\xi }_3=(-1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$。取 $P=({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$，则 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(3,3,1)$。

综上，$a,b$ 有两组取值：$a=1,b=1$ 或 $a=-1,b=3$，相应的可逆矩阵 $P$ 与对角矩阵如上。