2020 年考研数学（二） 第 8 题

「已知特征向量、给定对角阵、选 $P$」类题，核心口诀是 $AP=P\Lambda$ ⟹ $P$ 的列与 $\Lambda$ 的对角元一一对应。两个易错点：其一，列的次序必须与对角元次序严格对齐（本题对角元是 $1,-1,1$ 而非 $1,1,-1$）；其二，只有同一特征值的特征向量线性组合才仍是特征向量，跨特征值的和（如 ${\alpha }_1+{\alpha }_3$）立即出局。据此 D 唯一满足。

本题考查特征值、特征向量与相似对角化中列的对应关系。 若 $P^{-1}AP=\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$，则 $AP=P\Lambda$，即 $P$ 的第 $i$ 列必须是属于 ${\lambda }_i$ 的特征向量。

对角阵为 $\mathrm{diag}(1,-1,1)$，故所求 $P$ 的三列依次应为：第 $1$ 列属于特征值 $1$，第 $2$ 列属于特征值 $-1$，第 $3$ 列属于特征值 $1$，且第 $1$、$3$ 列线性无关。

关键性质：属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量。故 ${\alpha }_1+{\alpha }_2$ 仍属于特征值 $1$（且与 ${\alpha }_2$ 线性无关）；而 ${\alpha }_1+{\alpha }_3$ 是特征值 $1$ 与 $-1$ 的向量之和，不再是特征向量。

逐项检验：
A、C 第 $1$ 列为 ${\alpha }_1+{\alpha }_3$，非特征向量，排除；
B 第 $2$ 列 ${\alpha }_2$ 属于特征值 $1$，但该位置需属于 $-1$，排除；
D $=({\alpha }_1+{\alpha }_2,-{\alpha }_3,{\alpha }_2)$：第 $1$ 列 ${\alpha }_1+{\alpha }_2$ 属于 $1$，第 $2$ 列 $-{\alpha }_3$ 属于 $-1$，第 $3$ 列 ${\alpha }_2$ 属于 $1$，且第 $1$、$3$ 列 ${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2$ 线性无关，完全符合。

故选 D。