2020 年考研数学（二） 第 9 题

参数方程的二阶导，最常见的错误是把 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ 写成 $\frac{d^{2}y/d{t}^2}{d^{2}x/d{t}^2}$。正确做法是把一阶导 $\frac{dy}{dx}$ 视为 $t$ 的新函数，再「除以 $\frac{dx}{dt}$」下降一次。本题的化简亮点是 $y=\ln (t+\sqrt{t^2+1})=\mathrm{arcsinh}t$，其 $\frac{dy}{dt}=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}$，与 $\frac{dx}{dt}$ 约得极简的 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{t}$，后续求导一目了然。

本题考查参数方程确定的函数的二阶导数。 用公式 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$。

先求一阶导数所需的两个 $t$ 导数：
$$\frac{dx}{dt}=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\frac{dy}{dt}=\frac{1+\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}}{t+\sqrt{t^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}.$$

故
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{1/\sqrt{t^2+1}}{t/\sqrt{t^2+1}}=\frac{1}{t}.$$

再求二阶导数：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t}\right)}{dx/dt}=\frac{-\frac{1}{t^2}}{t/\sqrt{t^2+1}}=-\frac{\sqrt{t^2+1}}{t^3}.$$

代入 $t=1$：$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{t=1}=-\frac{\sqrt{2}}{1}=-\sqrt{2}$。