2020 年考研数学（二） 第 10 题

二次积分「积不动」时，第一反应就是交换次序。判据很直接：被积函数 $\sqrt{x^3+1}$ 关于内层变量 $x$ 没有初等原函数，而关于 $y$ 是常数——交换后内层对 $y$ 积分只贡献一个 $x^2$，正好凑出 $\frac{1}{3}d(x^3+1)$。画出区域 $\sqrt{y}\le x\le 1$ 帮助把边界 $x=\sqrt{y}$ 改写成 $y=x^2$ 是关键一步。

本题考查交换二次积分的次序。 被积函数 $\sqrt{x^3+1}$ 对 $x$ 无初等原函数，按原次序（先 $x$）积不出，需交换为先 $y$。

由二次积分的限，积分区域为
$$D=\{(x,y)\mid \sqrt{y}\le x\le 1,0\le y\le 1\}.$$
写成先 $y$ 后 $x$（X 型）：由 $\sqrt{y}\le x$ 得 $y\le x^2$，故
$$D=\{(x,y)\mid 0\le y\le x^2,0\le x\le 1\}.$$

交换次序后：
$${\int }_0^{1}dy{\int }_{\sqrt{y}}^1\sqrt{x^3+1}dx={\int }_0^1\sqrt{x^3+1}\left({\int }_0^{x^2}dy\right)dx={\int }_0^1{x}^2\sqrt{x^3+1}dx.$$

令 $u=x^3+1$，$du=3x^{2}dx$：
$${\int }_0^1{x}^2\sqrt{x^3+1}dx=\frac{1}{3}{\int }_1^2\sqrt{u}du=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}{u}^{3/2}{|}_1^2=\frac{2}{9}\left(2\sqrt{2}-1\right).$$