2020 年考研数学（二） 第 11 题

求某点的全微分，本质是求两个偏导值再拼成 $z_{x}dx+z_{y}dy$。本题设计得很「友好」：代入 $(0,\pi )$ 后内层 $u=xy+\sin (x+y)=0$，一举把 $\arctan$ 的导数因子 $\frac{1}{1+u^2}$ 变成 $1$，剩下只需算 $u_x,u_y$。抓住「先定点再求导可大幅简化」的时机，比先展开一般表达式再代入省事得多。

本题考查二元函数的全微分。 全微分 $dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$，先按链式法则求两个偏导在 $(0,\pi )$ 的值。

记 $u=xy+\sin (x+y)$，则 $z=\arctan u$，$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{u_x}{1+u^2}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{u_y}{1+u^2}$，其中
$$u_x=y+\cos (x+y),u_y=x+\cos (x+y).$$

在点 $(0,\pi )$：$u=0\cdot \pi +\sin \pi =0$，故 $1+u^2=1$；$\cos (x+y)=\cos \pi =-1$。于是
$$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(0,\pi )}=\frac{\pi +(-1)}{1}=\pi -1,\frac{\partial z}{\partial y}{|}_{(0,\pi )}=\frac{0+(-1)}{1}=-1.$$

因此 $dz{|}_{(0,\pi )}=(\pi -1)dx-dy$。