2020 年考研数学（二） 第 12 题

液体压力题一律「微元法」：取深度 $h$ 处厚 $dh$ 的水平窄条，其上压强 $\rho gh$ 近似不变，压力微元 = 压强 × 窄条面积。难点通常在写出「宽度随深度的变化」。本题的几何关键是斜边 $2a$ 在水面、直角顶点在最深处 $a$，由相似三角形得深度 $h$ 处宽度线性缩为 $2(a-h)$。积分限即深度范围 $[0,a]$。

本题考查定积分的物理应用——液体压力。 液体压强 $p=\rho gh$（$h$ 为深度），压力 $=\int p\cdot (\text{受力宽度})dh$，用微元法。

建立坐标：斜边在水面（深度 $h=0$），三角形顶点向下。等腰直角三角形斜边长 $2a$，故斜边上的高为 $a$，即最深处深度为 $a$。在深度 $h$（$0\le h\le a$）处，水平截线长度为 $2(a-h)$（顶部宽 $2a$，随深度线性收缩到 $0$）。

压力微元 $dF=\rho gh\cdot 2(a-h)dh$，其中 $2(a-h)dh$ 为窄条受力面积。故
$$F={\int }_0^{a}2\rho gh(a-h)dh=2\rho g\left(\frac{a{h}^2}{2}-\frac{h^3}{3}\right){|}_0^a=2\rho g\left(\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3}\right)=\frac{1}{3}\rho g{a}^3.$$