2020 年考研数学（二） 第 13 题

「解常系数 ODE 再积分」的标准两步。特征方程判别式为 $0$ 时通解带因子 $x$，别漏。求反常积分有两条路：直接分部积分（$x{e}^{-x}$ 是老朋友，${\int }_0^{\infty }x{e}^{-x}dx=1$），或者更巧——把方程改写成 $y=-y^{\prime \prime }-2y^{\prime }$ 后逐项积分，利用 $y,y^{\prime }$ 在 $+\infty$ 处趋 $0$，答案直接落在初值上 $y^{\prime }(0)+2y(0)$。后者计算量更小，是这类「解含参数微分方程的积分」的通用技巧。

本题考查二阶常系数齐次线性微分方程与反常积分。 先解方程求出 $y(x)$，再计算反常积分。

特征方程 $r^2+2r+1=0$ 有二重根 $r=-1$，故通解 $y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{-x}$，$y^{\prime }(x)=(C_2-C_1-C_{2}x)e^{-x}$。

由 $y(0)=0$ 得 $C_1=0$；由 $y^{\prime }(0)=C_2-C_1=1$ 得 $C_2=1$。故 $y(x)=x{e}^{-x}$。

计算反常积分（分部积分）：
$${\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x}dx=-{\int }_0^{+\infty }xd(e^{-x})=-\left[x{e}^{-x}{|}_0^{+\infty }-{\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx\right]={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx=-e^{-x}{|}_0^{+\infty }=1.$$

另解：由 $y=-y^{\prime \prime }-2y^{\prime }$，${\int }_0^{+\infty }ydx={\left[-y^{\prime }-2y\right]}_0^{+\infty }=0-(-y^{\prime }(0)-2y(0))=y^{\prime }(0)+2y(0)=1$（因 $y,y^{\prime }\to 0$）。故填 1。