2020 年考研数学（二） 第 14 题

四阶行列式先找结构，别硬展开。本题最先该看的是「每行元素之和恒为 $a$」：把其余各列加到第一列，整列提出 $a$，再用倍加化零降阶。另一条路是识别 $2\times 2$ 分块 $\left(\begin{array}{cc}aE& B\\ B& aE\end{array}\right)$，因 $aE$ 与一切矩阵可交换，用舒尔补 $|M|=|aE|\cdot |aE-\frac{1}{a}{B}^2|$ 降到二阶。两法同得 $a^2(a^2-4)$。

本题考查四阶行列式的计算。 该行列式有两条路可走：一是各行元素之和相同，用性质把某一列化成常数列后提出公因子；二是看出 $2\times 2$ 的分块结构，用舒尔补降到二阶。

方法一（各行元素之和相同）。 四行的元素之和都等于 $a$，故把第 $2,3,4$ 列都加到第 $1$ 列，第 $1$ 列各元素同为 $a$，提出公因子 $a$：
$$D=\left|\begin{array}{cccc}a& 0& -1& 1\\ 0& a& 1& -1\\ -1& 1& a& 0\\ 1& -1& 0& a\end{array}\right|=a\left|\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 1& a& 1& -1\\ 1& 1& a& 0\\ 1& -1& 0& a\end{array}\right|.$$

再作 $r_2-r_1,r_3-r_1,r_4-r_1$，把第 $1$ 列化成只剩一个 $1$，随即按第 $1$ 列展开降阶：
$$D=a\left|\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& a& 2& -2\\ 0& 1& a+1& -1\\ 0& -1& 1& a-1\end{array}\right|=a\left|\begin{array}{ccc}a& 2& -2\\ 1& a+1& -1\\ -1& 1& a-1\end{array}\right|.$$
展开这个三阶行列式得 $a^3-4a$，故 $D=a(a^3-4a)=a^4-4a^2$。

方法二（分块与舒尔补）。 记 $A=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right)=aE$，$B=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$，则原行列式对应矩阵为 $M=\left(\begin{array}{cc}aE& B\\ B& aE\end{array}\right)$。当 $a\ne 0$ 时 $A$ 可逆，
$$|M|=|A|\cdot |aE-B{A}^{-1}B|=a^2\left|aE-\frac{1}{a}{B}^2\right|.$$

而 $B^2={\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 2\end{array}\right)$，故 $aE-\frac{1}{a}{B}^2=\left(\begin{array}{cc}a-\frac{2}{a}& \frac{2}{a}\\ \frac{2}{a}& a-\frac{2}{a}\end{array}\right)$，其行列式 $={\left(a-\frac{2}{a}\right)}^2-{\left(\frac{2}{a}\right)}^2=a^2-4$。因此 $|M|=a^2(a^2-4)=a^4-4a^2$。

两法殊途同归，行列式的值为 $a^4-4a^2$。（$a=0$ 时把第 $2$ 行加到第 $1$ 行得零行，行列式为 $0$，与结果一致。）