2020 年考研数学（二） 第 15 题

斜渐近线永远是「先 $k$ 后 $b$」两步。$k$ 这一步靠第二个重要极限 ${\left(1-\frac{1}{1+x}\right)}^x\to e^{-1}$ 一锤定音。真正的难点在 $b$：这是 $\infty -\infty$ 型，套路是提出主项 $\frac{x}{e}$、用 $e^w-1\sim w$ 线性化，再把 $\ln \frac{x}{1+x}$ 展开到 $\frac{1}{(1+x{)}^2}$ 阶（只展一阶会丢掉 $\frac{1}{2}$）。展开阶数不够是这类题最常见的失分点。

本题考查斜渐近线的概念与极限计算。 斜渐近线 $y=kx+b$ 由 $k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}$、$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }(y-kx)$ 确定。

先把函数写成 $y=\frac{x^{1+x}}{(1+x{)}^x}=x\cdot \frac{x^x}{(1+x{)}^x}=x{\left(\frac{x}{1+x}\right)}^x$。

求 $k$：
$$k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{x}{1+x}\right)}^x=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{1+x}\right)}^x=e^{\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{x}{1+x}\right)}=e^{-1}.$$

求 $b$：
$$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(y-\frac{x}{e}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{e}\left(e^{x\ln \frac{x}{1+x}+1}-1\right).$$
由 $e^w-1\sim w$（其中 $w=x\ln \frac{x}{1+x}+1\to 0$），得 $b=\frac{1}{e}\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(x\ln \frac{x}{1+x}+1\right)=\frac{1}{e}\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^2\ln \frac{x}{1+x}+x\right)$。

用 $\ln (1+u)=u-\frac{u^2}{2}+o(u^2)$，取 $u=-\frac{1}{1+x}$：$\ln \frac{x}{1+x}=-\frac{1}{1+x}-\frac{1}{2(1+x{)}^2}+o\left(\frac{1}{(1+x{)}^2}\right)$。于是
$$x^2\ln \frac{x}{1+x}+x=-\frac{x^2}{1+x}-\frac{x^2}{2(1+x{)}^2}+x+o(1)=\frac{x}{1+x}-\frac{x^2}{2(1+x{)}^2}+o(1)\to 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$
故 $b=\frac{1}{e}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2e}$。

所以斜渐近线方程为 $y=\frac{x}{e}+\frac{1}{2e}$。