2020 年考研数学（二） 第 16 题

含参量积分 ${\int }_0^{1}f(xt)dt$ 直接对 $x$ 求导需要 $f$ 有连续导数，本题只给了 $f$ 连续，所以正道是换元 $u=xt$ 转成变限积分 $\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f$。三个易错点：其一，$x=0$ 是分段点，$g^{\prime }(0)$ 只能用导数定义，不能代公式；其二，$g(0)$ 要靠 $f(0)=0$ 单独算；其三，证 $g^{\prime }$ 连续时算 ${\lim }_{x\to 0}{g}^{\prime }(x)$ 不宜对整块用洛必达（不知 $f$ 是否可导），拆成 $\frac{f(x)}{x}$（已知极限）与 $\frac{{\int }_0^{x}f}{x^2}$ 两块更稳。

本题综合考查换元、变限积分求导、导数定义与导函数连续。 关键第一步是把含参积分 $g(x)$ 化为变限积分。

化简 $g(x)$。 对 $x\ne 0$，令 $u=xt$（$du=xdt$）：
$$g(x)={\int }_0^{1}f(xt)dt=\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(u)du.$$
由 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$ 且 $f$ 连续知 $f(0)=0$，故 $g(0)={\int }_0^{1}f(0)dt=0$。

求 $x\ne 0$ 时的 $g^{\prime }(x)$。 对 $g(x)=\frac{{\int }_0^{x}f(u)du}{x}$ 用商的求导法则（${\left({\int }_0^{x}f\right)}^{\prime }=f(x)$）：
$$g^{\prime }(x)=\frac{f(x)\cdot x-{\int }_0^{x}f(u)du}{x^2}=\frac{xf(x)-{\int }_0^{x}f(u)du}{x^2}.$$

求 $g^{\prime }(0)$（按定义，$x=0$ 是分界点）。
$$g^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g(x)-g(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x}f(u)du}{x^2}\stackrel{\text{洛必达}}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{2x}=\frac{1}{2}.$$
（分子分母在 $x=0$ 邻域可导，可用洛必达。）

证 $g^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 连续。 需证 $\underset{x\to 0}{\lim }{g}^{\prime }(x)=g^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$。把 $x\ne 0$ 的表达式拆开：
$$\underset{x\to 0}{\lim }{g}^{\prime }(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{f(x)}{x}-\frac{{\int }_0^{x}f(u)du}{x^2}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=g^{\prime }(0).$$
（这里 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$ 是已知，$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x}f}{x^2}=\frac{1}{2}$ 同上。）故 $g^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处连续。

综上，$g^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{xf(x)-{\int }_0^{x}f(u)du}{x^2},& x\ne 0,\\ \frac{1}{2},& x=0,\end{array}$ 且在 $x=0$ 处连续。