2020 年考研数学（二） 第 17 题

二元无条件极值是套路题：驻点、二阶偏导、$AC-B^2$ 判别三板斧。本题唯一需要小心的是解驻点时不要漏根——$216x^4=x$ 提取公因子 $x$ 后得到 $x=0$ 和 $x=\frac{1}{6}$ 两个驻点。原点处 $A=C=0$ 而 $B\ne 0$，$AC-B^2<0$ 是典型鞍点（沿不同方向一升一降），务必判为非极值，只有 $\left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)$ 是真正的极小。

本题考查二元函数无条件极值。 步骤：求驻点 → 求二阶偏导 → 用 $AC-B^2$ 判别。

① 求驻点。 由
$$f_x=3x^2-y=0,f_y=24y^2-x=0.$$
第一式 $y=3x^2$ 代入第二式：$24(3x^2{)}^2-x=216x^4-x=x(216x^3-1)=0$，得 $x=0$ 或 $x=\frac{1}{6}$。对应 $y=3x^2$：$x=0\Rightarrow y=0$；$x=\frac{1}{6}\Rightarrow y=\frac{1}{12}$。驻点为 $(0,0)$ 与 $\left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)$。

② 二阶偏导。 $f_{xx}=6x,f_{xy}=-1,f_{yy}=48y$。

③ 判别。 在 $(0,0)$：$A=0,B=-1,C=0$，$AC-B^2=-1<0$，故 $(0,0)$ 不是极值点（鞍点）。

在 $\left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)$：$A=6\cdot \frac{1}{6}=1,B=-1,C=48\cdot \frac{1}{12}=4$，$AC-B^2=4-1=3>0$ 且 $A>0$，故为极小值点，极小值
$$f\left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{6^3}+\frac{8}{12^3}-\frac{1}{6\times 12}=\frac{1}{216}+\frac{1}{216}-\frac{1}{72}=-\frac{1}{216}.$$

综上，函数在 $\left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)$ 处取极小值 $-\frac{1}{216}$，无极大值。