2020 年考研数学（二） 第 18 题

两段式综合题，各个击破。第一段「函数方程含 $f(x)$ 与 $f(1/x)$」的通法是用 $x\to \frac{1}{x}$ 再造一个方程，二元一次联立消元。第二段体积：区域由水平线 $y=\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $y$ 轴框住、绕 $x$ 轴转，用「柱壳法」$2\pi \int yg(y)dy$ 最顺（把 $x$ 写成 $y$ 的函数）。收尾的三角代换 $y=\sin t$ 让 $\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}$ 变成 ${\sin }^{2}t$，且端点 $\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}$ 关于 $\frac{\pi }{4}$ 对称使 $\sin 2t$ 项相消，答案干净利落。

本题综合考查函数方程（变量代换消元）与旋转体体积。

求 $f(x)$。 在原式 $2f(x)+x^{2}f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^2+2x}{\sqrt{1+x^2}}$ 中，把 $x$ 换成 $\frac{1}{x}$：
$$2f\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x^2}f(x)=\frac{1+2x}{x\sqrt{1+x^2}}.$$
将此式两端乘 $\frac{x^2}{2}$（或与原式联立消去 $f\left(\frac{1}{x}\right)$）。由原式解出 $x^{2}f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^2+2x}{\sqrt{1+x^2}}-2f(x)$，代入上式整理得
$$-\frac{3}{x^2}f(x)=\frac{1+2x}{x\sqrt{1+x^2}}-\frac{2(x+2)}{x\sqrt{1+x^2}}=\frac{-3}{x\sqrt{1+x^2}},$$
故 $f(x)=\frac{x^2}{x\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$。

准备旋转体。 由 $y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$（$x>0$，故 $0<y<1$）反解：$y^2=\frac{x^2}{1+x^2}\Rightarrow (1-y^2)x^2=y^2\Rightarrow x=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}=g(y)$。

求体积。 图形由 $x=g(y)$、$y=\frac{1}{2}$、$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 与 $y$ 轴围成，绕 $x$ 轴旋转，用柱壳公式
$$V=2\pi {\int }_{1/2}^{\sqrt{3}/2}yg(y)dy=2\pi {\int }_{1/2}^{\sqrt{3}/2}\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy.$$

令 $y=\sin t$（$y=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}$，$y=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{3}$），$dy=\cos tdt$，$\sqrt{1-y^2}=\cos t$：
$$V=2\pi {\int }_{\pi /6}^{\pi /3}{\sin }^{2}tdt=2\pi {\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\frac{1-\cos 2t}{2}dt=\pi \left(t-\frac{\sin 2t}{2}\right){|}_{\pi /6}^{\pi /3}.$$

因 $\sin \frac{2\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{3}$，两端点的 $\frac{\sin 2t}{2}$ 相消，$V=\pi \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{{\pi }^2}{6}$。