2020 年考研数学（二） 第 19 题

二重积分选坐标系看被积函数和区域「谁更配极坐标」。这里 $\sqrt{x^2+y^2}=r$ 是强烈的极坐标信号，即便区域是直线围成也值得转过去——竖直线 $x=c$ 在极坐标下是 $r=c\sec \theta$，射线 $y=x$ 是 $\theta =\frac{\pi }{4}$，边界依然规整。被积函数 $\frac{r}{r\cos \theta }=\sec \theta$ 极简，最终归结为 $\int {\sec }^3\theta d\theta$——这个「分部 + 还原」的经典积分要记熟。

本题考查二重积分的计算。 被积函数含 $\sqrt{x^2+y^2}$，虽区域是直线围成，仍宜用极坐标。

区域 $D=\{(x,y)\mid 0\le y\le x,1\le x\le 2\}$。极坐标下：$y=x$ 即 $\theta =\frac{\pi }{4}$，$x$ 轴即 $\theta =0$；$x=1$ 即 $r\cos \theta =1$（$r=\sec \theta$），$x=2$ 即 $r=2\sec \theta$。故
$$D=\left\{(r,\theta )\mid \sec \theta \le r\le 2\sec \theta ,0\le \theta \le \frac{\pi }{4}\right\}.$$

被积函数 $\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}=\frac{r}{r\cos \theta }=\frac{1}{\cos \theta }$，再乘面积元 $rdrd\theta$：
$${\iint }_D\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}dxdy={\int }_0^{\pi /4}\frac{1}{\cos \theta }\left({\int }_{\sec \theta }^{2\sec \theta }rdr\right)d\theta .$$

内层 ${\int }_{\sec \theta }^{2\sec \theta }rdr=\frac{1}{2}\left(4{\sec }^2\theta -{\sec }^2\theta \right)=\frac{3}{2}{\sec }^2\theta$，故
$$\text{原式}={\int }_0^{\pi /4}\sec \theta \cdot \frac{3}{2}{\sec }^2\theta d\theta =\frac{3}{2}{\int }_0^{\pi /4}{\sec }^3\theta d\theta .$$

由公式 $\int {\sec }^3\theta d\theta =\frac{1}{2}\left(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |\right)$，在 $[0,\frac{\pi }{4}]$ 上（$\sec \frac{\pi }{4}=\sqrt{2},\tan \frac{\pi }{4}=1$）：
$${\int }_0^{\pi /4}{\sec }^3\theta d\theta =\frac{1}{2}\left[\sqrt{2}\cdot 1+\ln (\sqrt{2}+1)\right]=\frac{1}{2}\left[\sqrt{2}+\ln (\sqrt{2}+1)\right].$$

因此原积分 $=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\left[\sqrt{2}+\ln (\sqrt{2}+1)\right]=\frac{3}{4}\left[\sqrt{2}+\ln (\sqrt{2}+1)\right]$。